La cosa es más fácil de lo que parece si unimos los centros de las 4 bolas con segmentos. Como son de cristal, podemos verlo. Lo que queda es una pirámide cuya base es un triángulo equilátero:
Sabemos que de la base triangular a la mesa hay un distancia de 1, pues es el radio de las esferas pequeñas. Y desde el vértice superior hasta la 'cima del mundo' hay 2, que es el radio de la esfera grande. Si conseguimos calcular la altura de la pirámide sólo habrá que sumarle 1 + 2 y ya tendremos la altura a la que está la hormiga.
Veamos entonces cómo hacerlo ¿Qué sabemos de la pirámide? Los lados de la base miden 2 (es la suma de los radios de dos de las bolas de abajo. Los lados de las caras laterales miden 3. Además, como el triángulo de la base es equilátero, la altura de la pirámide arranca desde su incentro (que es lo mismo en este caso que baricentro, ortocentro o circuncentro).
Consideremos entonces el triángulo que forman uno de los vértices de la base (A), el vértice superior de la pirámide (V) y ese incentro (I).
La distancia IV es justo la altura que queremos calcular. La distancia AV es 3, como ya sabemos. ¿Y la distancia AI? Veámosla sobre el triángulo de la base:
Es fácil calcular AI por trigonometría, pero como quiero que lo comprendan los que aún no la han visto, usaremos otro argumento. Si prolongamos AI acabaremos en el lado opuesto al vértice A, llamemos M a ese punto. El segmento AM es una altura del triángulo, y su longitud se puede calcular con el Teorema de Pitágoras.
Como I es el baricentro, la distancia AI son las dos terceras partes de AM. En conclusión
Y en el triángulo de antes (AIV), que es rectángulo, conocemos la hipotenusa AV y el cateto AI. Al aplicar el T. de Pitágoras obtenemos el otro cateto, que es la altura que queríamos calcular. Si lo hacéis obtendréis la altura deseada desde hace tiempo:
Y ya terminamos. La hormiga está sobre la mesa a una altura
un poco menos de 6, como cabía esperar.
PD. Dedicado a los apasionados de la geometría.
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